Sistemas de ecuaciones lineales: utilizando la eliminación de Gaussiana.

                                                             Método Gauss 

           

                   Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

 

Fue un matemático, astrónomo y físico alemán que influyo en multitud de ramas de las matemáticas. Desde niño fue considerado el niño prodigio y lo apodaban el príncipe de las matemáticas y era considerado el mejor de los tiempos.

El método de Gauss sirve para resolver ecuaciones utilizando el tradicional método de reducción. Consiste en trabajar precisamente con los coeficientes del sistema escritos en una matriz, dado que cada fila contiene los coeficientes de las incógnitas y del término independiente de cada ecuación.

Para emplear el método Gauss se realizan unas transformaciones en las filas de esa matriz hasta que conseguimos que los elementos debajo de la diagonal principal todos sean nulos.

Las transformaciones permitidas son:

 -    Se puede cambiar entre si dos filas

           -    Se pueden multiplicar o dividir por un número distinto de cero todos los elementos de               una fila.

          -      A una fila se le puede sumar otra multiplicada por un número.

          -     Todos los coeficientes son ceros.

          -     Dos filas son iguales.

          -      Una fila es proporcional a otra.

          -       Una fila es combinación lineal de otras.

                                                                 

Ejemplo

                                                             

    1.     Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente de x: 1 o -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

 

  2.    Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

 

               

                                   E'2 = E2 − 3E1

 3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

 

                                 E'3 = E3 − 5E1
                                                                

                                                           

 

    4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

            E''3 = E'3 − 2E'2

                                              

 

5.    Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

                                                                

                                                             

6.  Encontrar las soluciones.